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기초 신호 및 시스템 솔루션

기본 신호의 정의

신호(signal)는 시간, 혹은 공간에서 변화하는 물리적 양을 의미한다. 이는 전기, 전자, 기계, 화학 등의 여러 분야에서 발생한다. 또한 데이터 처리, 통신, 제어 등의 다양한 분야에서 중요하게 다루어지는 개념이다. 기본적으로 신호는 시간 축에 따라 정의되고, 이는 필수적인 속성이다. 특별한 경우와 한계 조건에서 신호는 물리적으로 정의되기도 한다.

기본 신호는 시간에 따라 변하는 양을 의미한다. 이를 표현하는 방법은 다양하지만, 주로 시간 축에 따른 함수와 그래프로 표현된다. 가장 간단한 형태의 기본 신호는 여러 개의 사각파, 직선, 삼각파 등이 있다.

신호의 유형과 특징

신호는 여러가지 유형이 있다. 대표적인 것으로는 아날로그 신호, 디지털 신호, 이산 신호, 연속 신호 등이 있다. 이들 중 대부분은 시간 축에서 신호의 움직임과 변화가 기반에 두어지고 있다.

먼저, 아날로그 신호는 시간과 값 모두 연속적인 값을 가지며, 고주파에서 주로 발생하는 전기적 신호이다. 아날로그 신호는 실제 세계에서 생긴 신호로, 연속 시간 함수로 표현된다.

반면에, 디지털 신호는 시간과 값 모두 이산적인 값을 가지며, 디지털 신호처리에서 중요한 기초적인 형태의 신호이다. 이식적으로 주파수가 낮다면 디지털 신호를 아날로그 신호로 근사할 수 있다. 디지털 신호는 대체적인 규칙 하에 시간과 값 사이의 이산적 샘플을 가진다.

다음으로, 이산 신호는 이산적인 값을 가지며, 시간축에서 연속적일 수도, 이산적일 수도 있다. 즉, 비연속한 값을 가지지만, 이산적이라는 점에서 디지털 신호와 유사하다. 이산 신호는 대체적으로 고정된 간격으로 이산적인 값들을 가진다.

연속 신호는 이산 신호와 같지만, 시간 축이 연속적이다. 이는 아날로그 신호와 같지만, 디지털 신호처럼 가공될 수 있는 형태로 변환이 가능한 것이다.

또한, 신호는 주기적이거나 비주기적인 특징을 가지며, 진폭, 주파수, 위상, 신호 폭 등의 특징을 가지게 된다. 신호의 특성에 따라 여러 분야에서 주고 받는 데이터를 가공하는 과정에서 기초적인 필수 요소로 다루어진다.

신호 변환 방법

신호 변환은 실제 세상에서 발생하는 신호를 다윈시어 도메인(signal transformation)으로 변환하거나, 그 반대의 예로 도메인에서 시공간으로 변환하는 작업이다. 변환 방법에는 여러가지가 있다.

먼저, 푸리에 변환(Fourier Transform)은 시간 영역으로 표현된 신호를 주파수 영역으로 변환한다. 이는 주로 전기, 전자, 통신 등에서 많이 사용되며, 자동차 엔진 부품, 크립토그래피 등 여러 분야에서 폭 넓게 사용되고 있다.

라플라스 변환(Laplace Transform)은 시간 영역에서 정상상태를 가정하면 변환된 신호를 컴플랙스 열 평면상으로 나타내는 기법이다. 이는 회로 및 산업 제어 공학 등에 사용되며, 기능 위주의 대형 제어 시스템에서도 많이 사용된다.

론지-길버트(Lonzh-Gilbert) 변환은 진동 형태의 신호를 다루는 분야에서 많이 사용된다. 이는 진동 파라미터를 추출하거나, 진동 특성을 확인하고, 신호를 재생성하는 등의 경우에 적용된다.

이 밖에도 복소수 성질 혹은 이산적인 공간에서의 변환 등 다양한 방법으로 신호변환이 가능하다.

시스템과 필터의 구성 요소

시스템(system)은 입력(input) 신호가 출력(output) 신호로 변환되는 과정을 나타내는 요소이다. 시스템은 신호 처리에서 기본적으로 사용되며, 선형시스템과 비선형 시스템, 상태공간 시스템 등으로 구분된다.

필터(filter)는 입력 신호를 출력 신호로 변환하는 블록이다. 필터는 신호를 걸러내거나 특정한 주파수를 추출하는 등의 역할을 수행한다. 따라서, 필터는 전자, 통신 등의 분야에서 매우 중요한 역할을 한다.

시스템과 필터의 구성 요소는 다음과 같다.

입력 – 입력 신호는 시스템의 입력으로 들어온다.

시스템 – 입력 신호를 처리하는 부분이다.

출력 – 처리된 신호가 출력으로 나온다.

피드백 – 출력 신호가 다시 입력 신호에 영향을 끼치는 경우, 피드백 loop가 생성된다.

이외에도 일부 시스템은 상태공간 모델 형태를 가지며, 이는 복잡한 전달 함수를 간결화하는 역할을 한다.

시스템의 동작 원리

시스템은 입력 신호를 처리하여 출력 신호를 생성하는 복잡한 블록으로 구성된다. 단일 입력-단일 출력(SISO, Single In Single Out) 시스템은 초기 입력이 단일 출력에 직접 영향을 끼치는 경우이다.

이상적인 시스템은 입력 신호를 완벽하게 처리하며, 왜곡 혹은 노이즈 없이 출력 신호를 생성한다. 하지만, 실제 세상에서는 이상적인 시스템이 존재하지 않는다. 즉, 시스템의 출력은 입력의 일부 분산, 왜곡 혹은 노이즈 등이 감안될 때 처리된다. 따라서, 신호 처리 시스템은 완벽한 결과를 생성할 수 없다.

디지털 신호 처리 방법

디지털 신호 처리(DSP, Digital Signal Processing)는 계산 능력을 효율적으로 사용하여, 디지털 신호를 처리하는 과정을 의미한다. 디지털 신호 처리를 사용하면, 대용량 데이터 처리, 신호 복잡도 제어, 빠른 신호 처리와 샘플링 등의 작업이 가능해진다.

디지털 신호 처리는 아날로그 신호를 샘플링하여, 아날로그에서 디지털 신호로 변환된 후, 필터링 및 다양한 변환 과정을 거쳐 새로운 디지털 신호를 생성한다. 이 디지털 신호는 복잡한 실시간 처리와 제어에 유용하게 사용된다.

시스템의 최적화 및 최적 제어

시스템의 최적화는 시스템의 성능을 최적화하기 위해 시스템을 조작하는 작업이다. 즉, 주어진 문제에 대해 가능한 가장 좋은 결과를 내기 위해 시스템의 파라미터를 수정하는 작업이다.

최적화는 시스템의 효율성을 높여주며, 고객을 만족시키기 위해 고객 요구사항에 따라 제품을 조정하는데 사용된다.

최적 제어는 동적인 시스템의 출력을 특정 목표치로 유지하는 요소이다. 이는 미세 조절, 분석, 시뮬레이션, 제어 프린트 혹은 미치되는 요약 정보를 제공할 수 있다.

시스템 설계 및 구현 방법

시스템 설계 및 구현은 다양한 단계를 거쳐야 하며, 일반적으로 다음과 같은 단계로 구성 된다.

목적 및 요구 사항 분석 – 시스템이 달성해야 할 목적 및 동기를 분석한다.

시스템 아키텍처 설계 – 시스템을 구성하는 요소와 각요소 간의 관계를 정의하는 과정이다.

시스템 디자인 및 구현 – 시스템 기능을 정의하고, 그에 따른 프로그래밍 및 하드웨어 구성을 수행하는 작업이다.

테스트 및 디버깅 – 설계 및 구현한 시스템의 기능성을 테스트하고, 문제점을 파악하여 해결하고 개선하는 과정이다.

배포 – 시스템을 이용자에게 인도한다.

기초 신호 및 시스템 2장 연습문제 풀이

[2.1] 각 함수의 값과 함수의 형태가 어떤 신호를 의미하는지 설명하시오.
[그림 2.19]
여기서, 사인함수의 주기는 T=2pi, 아날로그 신호의 원형이다.
각도의 값을 가져와 삼각 함수에 대입하여, 주파수가 f=1/T 인 부호 신호를 생성한다.

[그림 2.20]
이산 시간 신호 y[n]는 k에 비례하는 값인 y [n]=kn으로 나타낼 수 있다.

[그림 2.22]
삼각 함수 변환은 일부 세그멘트를 제거해 해당 주파수에서 발생하는 이산 신호를 생성한다.

[2.2] 2.1절의 팁스 기능을 수행하는 아날로그 RC 필터의 전달 함수를 정의하시오.
기존의 RC 필터는 전류 출력(I)와 입력 전압(V) 약간의 시간적 지연을 가지는 저항을 가진 임피던스로 정의된다.Table 2.1에 따라 RC 필터의 전달 함수를 정의할 수 있다. 전달 함수는 고유한 입력 신호에서 출력 신호로의 변환으로 정의한다. 따라서, RC 필터의 전달 함수는 s(랩라스 변환 변수)와 RC 필터의 회로 부품 간의 관계에 의해 결정된다.

기초 신호 및 시스템 3장 연습문제 풀이

[3.1] 평균 또는 직선이 있는 신호에서 각깊이에 따라 값을 변경하는 비선형 감쇠 인터폴레이션 곡선 매핑의 작용 방식에 대한 세부 사항을 설명하시오.
변환 함수를 이용하여 비선형 감쇠 인터폴레이션 곡선 매핑을 수행할 수 있다. 이변환 함수는 입력 값 범위의 평균과 분산을 계산하는 종합적인 전략이다.

[3.2] 임의의 입력 신호 x(t)의 적분 표시에 대한 미분 정리를 3.7절의 테이블 3.1을 사용하여 유도해보자.
좌변이 0이 되도록 그리고 음수 부호를 연못 할 수 있는 식으로 dx(t)/dt는 표현된다. 이 때, 테이블 3.1에서 dx(t)/dt는 x(t)를 바탕으로 적분될 수 있다.

[3.3] 설명서 3.3에서 다룬 저주파 필터(로우 패스 필터)와 고주파 필터(하이 패스 필터)의 기능은 각각 무엇인가?
로우 패스 필터(RPF, Low pass filter)는 제한된 주파수 범위 내에서만 낮은 주파수 신호를 통과시키고, 그 외의 모든 높은 주파수 신호는 제거한다. 따라서, RPF는 신호를 제한된 주파수 범위 내로 필터

기초 신호 및 시스템은 전자공학에서 가장 기본적인 과목이다. 이 과목에서는 기초적인 신호와 시스템을 다루고, 그들의 수학적인 연산 및 분석 방법을 공부한다. 이번 글에서는 시스템의 선형성과 시불변성, 콘볼루션 연산, 차분방정식 등에 대한 2장 연습문제 풀이를 다룬다.

1. 시스템의 선형성과 시불변성

문제 2.1 : 다음 시스템이 선형시불변시스템(LTI)이라면, 다음과 같은 입력값과 출력값이 주어졌을 때, h(t)를 구하시오.

(y(t)는 출력값, x(t)는 입력값)

입력 : x(t) = e^(-2t)u(t), y(t) = 2x(t) – x(t-2)

답 :

먼저, e^(-at) 라는 식은 시간 범위 t >= 0 에 대해서만 정의된 식이다.

연속 선형 시불변성 조건을 만족하기 위해 시스템은 다음과 같은 두 가지 성질을 가져야 한다.

– 선형성 : a1 x1(t) + a2 x2(t) -> b1 y1(t) + b2 y2(t)
– 시불변성 : x(t) -> y(t), x(t – T) -> y(t – T)

입력으로 x(t) = e^(-2t)u(t)이 주어졌으므로,

y(t) = 2x(t) – x(t-2)

= 2e^(-2t)u(t) – e^(-2(t-2))u(t-2)

= 2e^(-2t)u(t) – e^(-2t+4)u(t-2)

느리게 변화되는(=시간이 지남에 따라 비례변화되지 않는) 시스템이므로 시불변성 조건 만족

시스템의 출력값을 a*y1(t) + b*y2(t) 식으로 나타내면

이를 원래 시스템의 입력값으로 대입해본다.

a*2e^(-2t)u(t) + b(2e^(-2t)u(t) – e^(-2t+4)u(t-2))

= (2a+b)e^(-2t)u(t) – be^(-2(t-4))u(t-2)

다음과 같은 입력값이 시스템을 통과했을 때, 출력값이 y(t) = 10t + 2가 되어야 한다.

x(t) = 5delta(t+1) – 5delta(t-2), y(t) = 10t + 2

이를 x(t)를 두 개의 입력 신호의 합으로 나타낸 후, 선형 연산을 통해 y(t)값을 구하면 다음과 같다.

x(t) = 5delta(t+1) – 5delta(t-2)

= 5delta(t+1) + (-5)delta(t-2)

따라서 y(t) = 5(2t – 1)u(t+1) – 5(2t + 4)u(t-2) + 2

2. 콘볼루션 연산

문제 2.3 : 다음 두 신호의 콘볼루션 결과인 y(t)를 구하시오.

(x(t), h(t)) = (u(t+1), e^(-t)u(t))

답 :

y(t) = x(t) * h(t)

= ∫x(τ)h(t-τ)dτ

= ∫u(τ+1)e^(-τ)u(t-τ)dτ

= ∫u(τ+1)e^(-(t-τ))u(t-τ)dτ

1. τ < t-1 : y(t) = 0 (h(t-τ) = 0) 2. τ >= t-1 :

y(t) = ∫(from t-1)u(τ+1)e^(-(t-τ))dτ

= ∫(from 0)u(τ+1)e^(-(t-(τ+1)))dτ

u(τ+1)는 τ+1 >= 0 이므로 0 <= τ <= t-2. 따라서, y(t) = ∫(from 0)u(τ+1)e^(-(t-(τ+1)))dτ = e^(-t+1)u(t-1) 3. 차분방정식 문제 2.4 : 형식적으로 다음 차분방정식을 푸십시오. y[n] - 2y[n-1] + y[n-2] = x[n] - x[n-2] 답 : 차분방정식을 z 변환하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. Y(z) = (1 - 2z^-1 + z^-2) X(z) - (1 - z^-2) Y(z) 따라서, Y(z) = X(z) / (1 - z^-2 - 2z^-1 + z^-2) = X(z) / (1 - 2z^-1) = 1 / (1 - 2z^-1) X(z) = ∑(from k=0) 2^k x[n-k] 3.1 필수 질문 1. 기초 신호 및 시스템의 학습에 필요한 수학적인 공식들은 무엇인가요? - 단위 밈, 기저함수, 신호의 평균값, 에너지 및 전력, 일반적인 신호 함수 등이 필요합니다. 2. 시스템의 선형성과 시불변성은 무엇인가요? - 시스템이 선형성을 가지기 위해서는 시스템의 출력값이 입력값으로부터 선형적으로 결정되어야 하며, 시불변성을 가지기 위해서는 입력값이 시간적으로 이동하더라도 출력값이 변하지 않아야 합니다. 3. 콘볼루션 연산이란 무엇인가요? - 두 신호를 곱한 후 적분하는 연산으로, 두 신호가 어떻게 상호작용하는지를 나타냅니다. 4. 차분방정식이란 무엇인가요? - 차분방정식은 시스템의 미래 출력값을 현재의 입력값과 이전 출력값들과의 차이를 통해 추론하는 방식입니다. 5. 기초 신호 및 시스템은 어디에 응용될 수 있나요? - 기초 신호 및 시스템은 전자공학 분야에서 가장 기본적인 과목이기 때문에 다른 전자공학 과목들에서 유용하게 사용됩니다. 신호처리 분야에서는 음성신호, 이미지, 영상 및 통신신호처럼 실제 유용한 시그널을 이해하는 데 필수적인 과목입니다. 6. 기초 신호 및 시스템 과목을 학습하기 위해 필요한 전공적 배경은 무엇인가요? - 기초적인 미적분학 및 선형대수학, 푸리에 변환과 z 변환 같은 전자공학에서 중요한 수학적 기술을 포함합니다. 7. 기초 신호 및 시스템 과목을 공부하는 첫 학생들에게 조언하실 건 무엇인가요? - 기초 신호 및 시스템은 전자공학에서 기초적인 필수과목이기 때문에 꼼꼼하게 공부하는 것이 중요합니다. 또한, 응용분야에서 기초 연습문제를 해결해보는 것이 중요합니다. 8. 기초 신호 및 시스템 수업에서 가장 어려운 내용은 무엇인가요? - 수학적으로 복잡한 개념들이 많이 나오기 때문에, 기본적인 수학 지식이 없는 경우 이해하기 어려울 수 있습니다. 추가로, 차분방정식의 풀이 과정에서 혼동하기 쉬운 실수를 잘못한 경우가 많습니다. 9. 기초 신호 및 시스템 과목에서 실제 신호처리 응용분야가 무엇인가요? - 음성, 이미지, 영상, 통신과 같이 시계열 데이터 신호처리에 다양한 분야에서 활용됩니다. 10. 기초 신호 및 시스템과 관련된 직업이 어떤 것이 있는가요? - 시스템 엔지니어, 신호 처리 엔지니어, 컴퓨터 비전 엔지니어 등의 직업에서 기초 신호 및 시스템 관련 지식이 필요합니다. 추가 질문이 있으시면 언제든 말씀해주세요.

“기초 신호 및 시스템 3장 연습문제 풀이”

신호 및 시스템은 전자공학, 컴퓨터공학, 통계학 등 다양한 분야에서 매우 중요한 개념입니다. 이번에는 ‘기초 신호 및 시스템’의 세 번째 장인 필터와 주파수 변환에 대한 연습문제를 풀어보겠습니다.

1. 잡음 제거 필터

문제: y(t) = x(t) + 0.1v(t) 을 잡음이 제거된 x(t) 신호로 필터링해보세요. 여기서 v(t)는 평균이 0, 분산이 1인 가우시안 잡음입니다.

해결: 먼저, x(t) 신호를 Fourier 변환을 이용해 주파수 영역으로 변환합니다. 그리고 난 후, 주파수 범위 내에서 가우시안 잡음에 해당하는 주파수 대역은 잘라냅니다. 마지막으로, 다시 시간 영역으로 돌아와 x(t)를 구해주면 됩니다.

2. 고주파 필터링

문제: x(t) = 2cos(1000πt) + cos(2000πt) 신호에서 2000 Hz 이상의 주파수 성분을 제거하고 남은 신호를 그래프로 나타내세요.

해결: 이 문제는 고주파 필터링 문제입니다. 구체적으로, x(t)를 Fourier 변환해서 주파수 영역에서 2000 Hz 이상인 주파수 항목을 제거하고, 다시 역 Fourier 변환을 통해 원래 신호를 구합니다. 필터는 보통 “저주파”와 “고주파” 필터로 구분됩니다. 이번 문제에서는 고주파 필터링을 수행하여 2000 Hz 이상의 주파수 성분을 제거합니다.

3. 주파수 이동

문제: x(t) = 2sin(500πt) + 3cos(2000πt) 신호에서 주파수를 1500 Hz로 이동한 후 그래프로 나타내세요.

해결: 이 문제는 주파수 변환을 다루는 문제입니다. 구체적으로, x(t) 신호를 Fourier 변환하여 주파수 영역으로 변환한 후, 주파수를 1000 Hz만큼 이동시키면 됩니다. 이렇게 이동시킨 신호를 역 Fourier 변환하여 시간 영역에 표시합니다.

FAQs

Q1. 기초 신호 및 시스템은 어떤 분야에서 사용되나요?

기초 신호 및 시스템은 오디오, 영상, 통신, 제어, 패턴 인식 등 다양한 분야에서 사용됩니다. 예를 들어, 오디오 분야에서는 음성 인식, 음악 분석, 음향학, 오디오 압축 등에 사용됩니다. 또한, 영상 분야에서는 이미지 인식, 비디오 코드화, 영상 재생성 등에 사용됩니다.

Q2. 신호 및 시스템에서 필터란 무엇인가요?

많은 종류의 필터가 존재합니다. 그러나 일반적으로 적용할 수 있는 필터는 기능에 따라 대역 필터와 고역 필터로 나뉩니다. 대역 필터는 특정 주파수 대역만을 통과시키고 나머지는 차단하며, 고역 필터는 특정 주파수 대역을 차단하고 나머지를 통과시킵니다.

Q3. Fourier 변환이란 무엇인가요?

Fourier 변환이란 주파수 도메인으로 신호를 변환하고 다시 시간 도메인으로 변환하여 원래 신호를 복원하는 기술입니다. Fourier 변환은 신호 분석, 필터링, 압축 등 다양한 분야에서 사용됩니다.

Q4. 신호 및 시스템에서 주파수 이동이란 무엇인가요?

주파수 이동은 주어진 시간 도메인 신호의 주파수를 변화시키는 것으로, 일반적으로 Fourier 변환 및 역 Fourier 변환을 사용합니다. 주파수 이동은 오디오와 영상 분야에서 자주 사용되며, 필터링 및 변조 등 다양한 분야에서도 활용됩니다.

Q5. 어떻게 기초 신호 및 시스템 연습문제를 풀 수 있나요?

기초 신호 및 시스템 연습문제를 풀기 위해서는 전자공학과 수학 기초를 이해해야 합니다. 또한, 일부 문제는 프로그래밍 기술을 필요로 할 수도 있습니다. 문제를 해결하기 위해 이론적 지식, 계산, 그래프 등 다양한 도구들을 이용해서 체계적으로 접근하는 것이 중요합니다. 마지막으로, 여러 가지 기법들을 통해 문제를 다양한 방법으로 접근해보는 것이 좋습니다.

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